2026·2025학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 문제집 (통합 30문항)

문제 1

곡선 $y = 3^x$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 후, $x$축 방향으로 $m$만큼 평행이동한 도형이 점 $(3, 9)$를 지난다. 상수 $m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 2

아인슈타인의 상대성이론에서 정지 상태의 질량이 $m_0(\text{mg})$인 입자가 $v(\text{m/s})$의 속도로 움직일 때의 질량 $m(\text{mg})$은 다음과 같다. $$m = m_0 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}$$ 정지 상태의 질량이 $8\text{mg}$인 입자가 움직일 때의 질량이 $10\text{mg}$이다. 이때, 입자의 속도를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $v > 0$, 상수 $c$는 $3 \times 10^8\text{m/s}$로 계산한다.)

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문제 3

첫째항이 $4$인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. 어떤 자연수 $k$에 대하여 $S_k = 20$, $S_{2k} = 30$일 때, 이 등비수열의 제$(k+1)$항 $a_{k+1}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 4

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3a}{x - 1} & (x \neq 1) \\[6pt] b & (x = 1) \end{cases}$$

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문제 5

이차함수 $f(x)$와 일차함수 $g(x) = ax$ ($a < 0$)가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) 함수 $f(x)$의 그래프는 원점을 지난다.

(나) 함수 $f(x)$는 $x = \dfrac{5}{2}$에서 극댓값 $\dfrac{25}{4}$를 갖는다.

(다) 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 $36$이다.

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문제 6

두 함수 $f(x) = \dfrac{8}{3}x^3 + 2x^2$와 $g(x) = x^4 - 4x^2 + a$가 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 항상 성립하도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 7

함수 $f(x) = 3^{x-1} + 2$에 대하여, 정의역이 $[-1, 3]$일 때, 이 함수의 최댓값은 $M$, 최솟값은 $m$이다. $M, m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 8

엑스선을 이용하면 물질의 두께를 측정할 수 있다. 처음 엑스선의 강도를 $I_0$, 감약계수가 $\mu$인 어느 물질을 투과한 후 엑스선의 강도를 $I$라고 할 때, 그 물질의 두께 $d(\text{mm})$에 대하여 다음 식이 성립한다. $$\log I = \log I_0 - \frac{\mu}{0.7}d$$ 감약계수가 $0.245$인 어떤 물질을 투과한 엑스선의 강도가 처음 강도의 $\dfrac{1}{5}$이 되었다. 이 물질의 두께를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\log 2 = 0.3$으로 계산한다.)

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문제 9

$\overline{\text{AB}} = 8$인 삼각형 $\text{ABC}$가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $3\sin C = 2\sin A$

(나) $5(\sin A - \sin C) = 2\sin B$

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문제 10

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + (a - 1)x - 3}{x - 2} & (x \neq 2) \\[6pt] b & (x = 2) \end{cases}$$

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문제 11

두 함수 $f(x) = 3x^4 + 2x^3 - x$, $g(x) = -x^3 + 4x^2 + 2x + 1$에 대하여 방정식 $f(x) = g(x)$는 열린구간 $(-2, -1)$에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하시오.

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문제 12

집합 $A_n$이 다음과 같다. $$A_n = \{3^k \mid 1 \le k \le n + 2, \; k\text{는 자연수}\}$$ 집합 $A_n$의 서로 다른 두 원소를 곱했을 때 나올 수 있는 값의 집합을 $S_n$, 집합 $S_n$의 원소의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{8} a_n$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 13

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x) = (2x + 3)f(x)$일 때, 두 함수 $f(x), g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. $f(6) - g'(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{5f(x) - g(1)}{x - 1} = g(1) + 35$

(나) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{g(x) - 5f(1)}{x - 1} = f(1) + 11$

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문제 14

두 함수 $f(x) = 2x^2 + 6ax$와 $g(x) = -x^2 + 9a^2$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\dfrac{32}{27}$이고, 두 함수의 그래프가 서로 만나는 두 점을 연결한 직선의 방정식을 $y = h(x)$라 할 때, $h(2)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 양의 상수이다.)

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문제 15

최고차항의 계수가 $12$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y = f(x)$가 원점을 지나고, 점 $(1, f(1))$에서 접선의 방정식은 $y = -28x + 8$이다. $g(x) = x^4 - 4x^2 + k$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \le g(x)$가 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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문제 2025-1

정의역이 $\{x \mid -2 \le x \le 3\}$인 함수 $y = 2^x + a$의 최댓값이 $7$이고, 최솟값은 $m$이다. $a, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)

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문제 2025-2

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_7 = 22, \; a_2 + a_5 = 23$일 때, 공차와 $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

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문제 2025-3

다음은 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)f(x)}{x^2 + 2x - 8} = 5$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술한 것이다. (가)에 알맞은 식과 (나), (다)에 알맞은 값을 구하시오.

< 풀이 과정 >

함수 $f(x)$가 실수 전체 집합에서 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$,
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)f(x)}{x^2 + 2x - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\fbox{$\phantom{\text{ (가) }}\text{(가)}\phantom{\text{ (가) }}$}} \times \lim_{x \to 2} f(x) = \fbox{$\phantom{\text{ (나) }}\text{(나)}\phantom{\text{ (나) }}$} \times f(2) = 5$$ 따라서, $f(2) = \fbox{$\phantom{\text{ (다) }}\text{(다)}\phantom{\text{ (다) }}$}$

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문제 2025-4

$a > 0$인 상수 $a$에 대하여 곡선 $y = x^2 + a$와 $x$축 및 두 직선 $x = -2, \; x = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $9$이다. 이때, 곡선 $y = x^2 + 2a$와 $x$축 및 두 직선 $x = -2, \; x = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a > 0$인 상수이다.)

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문제 2025-5

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = 1$에서 극댓값 $4$를 가지고, $x = 2$에서 극솟값을 가진다. 이때, 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

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문제 2025-6

정의역이 $\left\{x \;\middle|\; -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{3}\right\}$인 함수 $f(x) = \sin^2 x - 2\cos(x - \pi) + 1$은 $x = a$에서 최솟값 $m$을 갖고, $x = b$에서 최댓값 $M$을 갖는다. $a, b, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

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문제 2025-7

정의역이 $\{x \mid -3 \le x \le 5\}$인 함수 $y = -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1} + 1$의 최댓값이 $M$이고, 최솟값은 $m$이다. $M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

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문제 2025-8

함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - \dfrac{1}{3}$이 $x = -1, \; x = 2$에서 극값을 갖고, $f'(0) = -4$일 때, 상수 $a, b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

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문제 2025-9

수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_2, \; a_3, \; a_5$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $3a_2 + 5a_3 = 7$

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = -\dfrac{1}{3}a_n$이다.

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문제 2025-10

등식 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+a} + b}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{32}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

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문제 2025-11

$x$에 대한 이차방정식 $\sqrt{3}x^2 + (2\cos\theta)x + \sin\theta\cos\theta = 0$이 중근을 갖도록 하는 상수 $\theta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $0 < \theta < \pi$이다.)

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문제 2025-12

함수 $f(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 $$\int_{-1}^{1} (x-1)f(x)\,dx = \frac{8}{3}, \qquad \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = -\frac{4}{15}$$ 가 성립할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

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문제 2025-13

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 $a, b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 상수이다.)

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 4}{x - 1} = 16$

(나) 모든 실수 $p$에 대하여 $\lim\limits_{x \to p} \dfrac{f(x) + f(-x)}{x - p}$의 값이 존재한다.

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문제 2025-14

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a \ne 10$)

< 조 건 >

$x$에 대한 이차부등식 $(1 - \log a)x^2 + 2(1 - \log a)x - 1 < 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립한다.

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문제 2025-15

두 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$와 $g(x) = x^3 - 6x^2 + ax + 1$이 각각 $x = 1$에서 극값을 가지고, 함수 $f(x)$의 그래프와 $g(x)$의 그래프는 직선 $y = b$와 각각 서로 다른 세 점에서 만난다. 이때, 상수 $a$의 값과 가능한 모든 정수 $b$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이고 $b$는 정수이다.)

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